1.1 Conjuntos y números reales
• Conjunto: Es una colección bien definida de elementos u objetos, que pueden ser números, letras, personas, etc. Por ejemplo, el conjunto A = {1, 2, 3} contiene los números 1, 2 y 3.
• Números reales (ℝ): Son todos los números que pueden representarse en la recta numérica. Incluyen los números naturales (ℕ), enteros (ℤ), racionales (ℚ) y los irracionales (como √2 o π). Los números reales abarcan tanto los positivos como los negativos, con y sin decimales.
1.2 Intervalos y desigualdades
• Intervalos: Son subconjuntos de los números reales que representan todos los valores comprendidos entre dos extremos. Ejemplos:
– Abierto: (a, b) incluye todos los números entre a y b, pero no incluye a ni b.
– Cerrado: [a, b] incluye a y b, además de todos los números entre ellos.
– Semiabierto: (a, b] incluye b pero no a; [a, b) incluye a pero no b.
• Desigualdades: Son expresiones matemáticas que indican que una cantidad es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que otra. Por ejemplo: x > 2 significa que x es mayor que 2, y x ≤ 5 indica que x es menor o igual a 5.
1.3 Funciones
• Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de entrada (x) para los que la función está definida.
• Rango: Es el conjunto de todos los posibles valores de salida (f(x)) que la función puede tomar.
Tipos de funciones:
• Función lineal: Su gráfica es una línea recta. Se expresa como f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b la ordenada al origen. Modela relaciones proporcionales.
• Función cuadrática: Tiene la forma f(x) = ax² + bx + c. Su gráfica es una parábola. Se usa para describir trayectorias o fenómenos con máximos y mínimos.
• Función polinomial: Es una suma de términos con potencias enteras no negativas de x. Ejemplo: f(x) = 4x³ – 2x + 1. Puede tener múltiples raíces y formas gráficas variadas.
• Función racional: Es una fracción de dos polinomios. Puede tener asíntotas verticales y horizontales. Ejemplo: f(x) = (x + 1)/(x – 2).
• Función trigonométrica: Funciones periódicas como seno, coseno y tangente. Se utilizan para describir fenómenos cíclicos.
• Función exponencial: Tiene la forma f(x) = a^x, donde a > 0 y a ≠ 1. Modela crecimiento acelerado o decrecimiento.
• Función logarítmica: Inversa de la exponencial. Tiene la forma f(x) = logₐ(x), definida para x > 0. Crece lentamente y se usa en escalas logarítmicas.
1.4 Representación gráfica de funciones
Consiste en trazar en el plano cartesiano los puntos (x, f(x)) para distintos valores de x. Esto permite observar visualmente el comportamiento de la función: si crece, decrece, tiene máximos o mínimos, o presenta simetrías.
1.5 Composición y operaciones con funciones
• Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x). Se suman los valores de ambas funciones para un mismo x.
• Resta: (f – g)(x) = f(x) – g(x). Se restan los valores de ambas funciones para un mismo x.
• Multiplicación: (f · g)(x) = f(x) · g(x). Se multiplican los valores de ambas funciones.
• División: (f / g)(x) = f(x) / g(x), siempre que g(x) ≠ 0.
• Composición: (f ◦ g)(x) = f(g(x)). Se aplica primero la función g al valor de x y luego se aplica f al resultado. Es útil para combinar procesos sucesivos o construir funciones más complejas.
1.6 Inversas de funciones
• Una función inversa f⁻¹(x) es aquella que revierte el efecto de la función original f(x). Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.
• Para que una función tenga inversa, debe ser inyectiva (o uno a uno), es decir, que a diferentes valores de entrada les correspondan diferentes salidas. Esto se verifica gráficamente con la “prueba de la línea horizontal”. Si una línea horizontal corta la gráfica más de una vez, la función no tiene inversa.
